O paradoxo de Monty Hall

Você está no programa do Silvio Santos. E o jogo é o seguinte: são três portas na sua frente; atrás de uma delas, tem um carro. Se você escolher a porta certa, ganha o carro. A chance é, naturalmente, de uma em três – 33,333…%.

Aí você escolhe, vamos dizer, a porta 1. Mas Silvio não abre. Ele sabe qual é a porta onde está o carro, então decide colocar uma emoção extra. Abre a número 3 para mostrar que o prêmio não está ali.

Agora você sabe que o carro está ou na porta 1, que você já escolheu, ou na 2. E Silvio adiciona um suspense: “Má oêê, quer mesmo abrir a porta número 1? Você está certo disso? Ou prefere trocar para a número 2?”.

A pergunta parece mera encheção de linguiça. Agora há duas portas fechadas. O carro está em uma delas. Então você tem 50% de chance de ganhar. Manter a escolha original ou trocar de porta daria rigorosamente na mesma, não?

Para a jornalista Marilyn vos Savant, não. A americana era famosa na década de 1980 por constar no Guinness Book como o maior QI do mundo: 228. O jogo das três portas rolava num programa de TV de lá, o Let’s Make a Deal, apresentado por Monty Hall, um Silvio Santos deles. E Vos Savant tinha uma coluna na revista Parade, a Ask Marilyn – os leitores mandavam perguntas e ela respondia.

Em setembro de 1990, alguém perguntou se valia a pena trocar de porta no jogo do Let’s Make a Deal. Ela disse que sim; que a primeira porta dava um terço de chance (33%) e a segunda, dois terços (66%).

A resposta colocou fogo no parquinho. Vos Savant recebeu umas 10 mil cartas de gente xingando. Várias delas, PhDs. Caso de Robert Sachs, um professor universitário do Canadá: “Deixa eu te explicar: se uma das duas portas é apresentada como perdedora, essa informação muda as probabilidades das demais – para 50%. Como matemático profissional, me preocupa a ignorância do grande público em relação à matemática. Por favor, admita o erro e tome mais cuidado no futuro”.

Mas Vos Savant não tinha de admitir nada. Ela estava certa. Vamos dizer que fossem 100 portas, em vez de só três. Você escolhe a 1. Aí o apresentador, que sabe onde está o carro, abre 98 portas. Sobram apenas a número 1 e a número 100 fechadas, e o carro estará em uma delas. Você manteria sua escolha original? Não.

A porta 1, neste exemplo, tem só 1% de chance de ser a boa – já que você a escolheu entre 100 quando não tinha informação alguma. Já a porta 100, que o apresentador decidiu conscientemente manter fechada, tem agora 99% de chance. Você deve fazer a troca.

Num jogo com três portas, a lógica é a mesma. A 1 segue com seus 33% de chance mesmo após o apresentador descartar a número 3, pois você a escolheu sem qualquer informação. E a probabilidade de a 2 ser a correta sobe para 66%. O mais prudente é trocar. Ponto.

Essa questão se tornou célebre. É conhecida como Paradoxo de Monty Hall (em referência ao apresentador). E não cabem opiniões: a matemática prova que a chance de a porta 2 levar ao prêmio é mesmo de 66,666…%. Também dá para conferir em simuladores, como este aqui: montyhall.io.

É isso. Nem sempre as leis do universo estão de acordo com aquilo que parece correto para nós. Mesmo uma conclusão totalmente racional, como a da chance de 50% para as duas portas, pode estar equivocada. Vale para a matemática, vale para a vida.

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